数学につまづいたら、発想の転換　ロシアンパワーを使え！編
というテーマでお送りします。

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「・・・その目的とするところは、これらの諸理論を単に説き来り説き去る
というのではなく、物理学や科学技術の領域に必須な事項を豊富に取り扱い
つつ，数学的緒方法を十分に理解せしめ、
自らこれを駆使し得る段階にまですることにある。
したがってその説明はいたるところ懇切丁寧であって、
しかも全体を一貫した方針でつらぬいている」
スミルノフ　高等数学教程　訳者　序　より

今、私は

スミルノフ　高等数学教程　全12巻

を目の前にして、これを書いている。
トルストイの「戦争と平和」を見ればわかる通り、
ロシア人の書くものは圧倒的に量が多い。
これは、文学だけではなくて、数学でも同様で、
「スミルノフの高等数学教程」のような莫大な量の教科書が出現する。

この教科書を読むと、文化の違いを如実に感じる。
三十一文字で人生のみならず、宇宙のすべてを表現することを志す、
我が国の文化とは全く対照的な文化の存在を理解することができる。
国土が広いため、通信教育が発達したという状況も加わって、
ロシアに長大で良質な教科書が出現する。
ロシアは、日本と同様に、傑出した数学者を何人も輩出している。
扱っている範囲も広い。

１は、我が国の数Ⅲで学ぶ内容が書かれているが、詳しい。
圧倒的に詳しい。
２からは、大学での数学になる。微積分、微分方程式を経て、
11で積分論、位相、最終12でヒルベルト空間の非有界作用素まで読者を
導いてくれて、この長大な物語は大団円を迎える。
途中、函数論、線形代数、ベクトル解析、曲面論、群論、フーリエ級数、
特殊関数、積分方程式、変分法、偏微分方程式などが次々に現れ、
一つの物語を構成し、ヒルベルト空間の非有界作用素という目的に向かって収束していく。
結果的に、我が国のカリキュラムで言えば、
高校の数学Ⅲから大学３年生までの解析＋線形代数＋群論を全部含んでいる。

この著作の顕著な特徴は、
演習問題がないということ。
そして、演習問題がないので解答もない。
なぜ、演習問題がないのか。
日本の教科書だったら、演習問題にするようなところを、全部本文に
組み入れて、詳しく解説しているからだ。
それから、訳者のメンバーがすごい。
なんと谷山豊先生も訳者に名前を連ねていらっしゃる。

スミルノフ高等数学教程が読み終わったら、

アヒエゼル　グラズマン著　ヒルベルト空間　上　下　共立出版

を読んでみて欲しい。
これも、ロシアンパワー全開の本。
これ以上なく懇切丁寧で、読者を高いレベルまで導いてくれる。
スミルノフ高等数学教程の１２で学んだことをさらに深め、高めてくれるはずだ。
多くの数学を学ぶ者にとって、ロシアンパワー全開の教科書は、
有益な事限りない。
図書館にいけば、昭和３０年代から３０年代にかけて、日本語に翻訳された
ロシアの数学書を手に取ることができるはずだ。
数学の勉強が上手くいかなくなってしまったら、
ロシアンパワーの力を借りることを考えてみて欲しい。
突破口になるはずだ。

再生時間は６分です。ぜひ聴いてみて下さい。

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今回は、大学生以上に向けて話します。
もちろん、高校生以下にも役に立ちます。
大学の数学でつまずいてしまった人はどうすればいいか。
振り返れば、決定的に演習が足りない人が多いはずです。
多くの大学生は演習が足りません。
だから、演習問題を意識的に沢山解かなくてはなりません。

演習問題を解きながら、不明なところをテキストで調べる。
興味があるところを精読する。
演習→テキスト
という流れで勉強をするといい。
普通は、講義を聴く、テキストを読む→演習なのだが、
その逆をやるといい。

定理の証明はもちろん極めて重要であることは言を俟（ま）たないが、
最初にやるべきことは、演習問題を通して、定理の使い方を学ぶこと。
定義、定理を頭のなかに刻みこむこと。
初歩の例だが、
「上限ときいたら、上界の最小数」
「下限ときいたら、下界の最大数」とすぐに出てくるようにする必要がある。
コンパクト集合と聞いたら、すべての開被覆が必ず有限部分被覆を持つ。
そして、ある集合Aがコンパクトであることを示すには、
Ａのすべての開被覆について、それぞれ有限個の開集合を取り出して
それらの和集合がＡを覆うかを調べればよい。
そのために演習問題を解く。
そして、テキストを虫食い的に読んでいく。

そうすると、頭の中に数学の体系が使えるようになってくる。
演習書をなんでもいいから、本当に何でもいいから手に取って
一題やってみる。有名なものから選んでもいい。
とにかく、解こうとする。
あっさりできてしまえば、次の問題に進めばいいが、
30分考えてわからなければ、
解答を見ながら、解答を丁寧に写す。
写すというのは、一行一行の内容を理解しながら写す。
わかりにくいところは、具体例を作ってみるといい。
そして、どんなふうに定理が使われていて、
そのためにどんなテクニックを使っているのか、
この点に焦点を当てて学んでいく。

だいたい、演習書の解答は簡潔に書かれているので、
解答を嚙み砕いて、補って書き直してみるとよい。
一題の解答を自分のものにするには、
１時間以上かかることもざらにあると思う。
でも、そういうものだと思って頑張って勉強して欲しい。

講義の後に配布されるレポート問題や、
教科書の章末問題が全く解けない、という人は、
演習書中心に勉強をすることに試みて欲しい。
正しくやっていれば、必ず解けるようになる。
真面目で、大学に行けなくなってしまった方にも是非取り入れて欲しい。

役に立つと私が思う本の一部を最後に挙げておく。
講義がわからない、有名なテキストを読んでも分からない、
演習問題が全く解けない、
院試対策が全くできない。
そういう人もいらっしゃると思う。
少しでもお役に立てたら心から嬉しい。

絶対合格！

◇◆参考図書◆◇
いろいろなレベルの方がいらっしゃるので、どんな人でも役に立つわけではないけれど、
このレベルが自分のものになっていなくて、
苦労している方も多数いらっしゃるはずです。
例えば、[1]から[6]の必要か所を参照しながら[7]の問題を解くというやり方があります。
[1]から[7]は非常に使いやすくて役に立つ本です。すべて名著だと思います。
数学に挫折しかかったら、是非、[1]から[7]に取り組んでください。

[1] 解析学Ⅰ　/永倉安次郎、宮岡悦良著　共立出版
[2] 解析学Ⅱ　/永倉安次郎、宮岡悦良著　共立出版
[3] 解析演習ハンドブック　一変数関数編　/永倉安次郎、宮岡悦良著　朝倉書店
[4] 解析演習ハンドブック　多変数関数編　/永倉安次郎、宮岡悦良著　朝倉書店
[5] 微分積分学　Ⅰ　一変数の微分積分　　/宮島静雄著　共立出版
[6] 微分積分学　Ⅱ　多変数の微分積分　　/宮島静雄著　共立出版
[7] 数学演習ライブラリ　解析演習　　/野本久夫、岸正倫著　　サイエンス社

再生時間は１１分です。ぜひ聴いてみて下さい。

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先生も間違える。先生は凡人だから
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私が、授業をすると間違えることがある。
それがとても気に入らない生徒がいる。
きっと、その生徒は、先生は神だと信じているのだろう。
しかし、先生は神でない。
完全無欠でもない。
先生は神でなく、普通の人間なのだ。
それを、受け入れられなくて、
先生は神だから、完全無欠でなくてはならない
と考える。

当たり前のようだが、
実はとても危険な考えなのだ。
先生は神だから完全無欠な存在だと思っている生徒は、
先生が間違えたとき、
その先生は間違えるから完全無欠ではない。神ではない。
だから、自分にとって無意味な存在なのだ
と、断罪する。

その生徒の世界は、ゼロか全てかの二種類しかなくて、
先生を、そのどちらの世界に入れるかは、
自分が決めることなのだと信じていることになる。
つまり、自分が先生を断罪できる立場なのだと思っていることを意味する。
と言うことは、自分は人を裁ける万能の存在なのだと、
つまり、自分こそは全知全能の神なのだと考えていることになる。

自分が神になってしまうと、謙虚に学び続け、
成長していくことができなくなる。
完全無欠の神である自分が学ぶ必要など、そもそも、ありはしないからだ。

ひとたび神になってしまうと、勉強ができないのは他人のせいになってしまう。
神である自分に、周りは全て従わなくてはならないと考えるからだ。

本当は、自分が勉強しなかったから、成績が悪かったり、
入試に落ちたりするのだが、
それが受け入れられない。

先生の教え方が悪いから、自分が成績が悪いんだ。
悪い成績をつける先生がいけないんだ。
親が悪い、先生が悪い、学校が悪い、社会が悪い、国が悪い、世界が悪い。
他責には限りがない。

上手くいかないのは全部他人のせいと考えるから、
一切、自分を省みることができなくなる。
失敗を認め、そこから学び、次に生かす、という発想が育たない。
つまり、成長ができなくなってしまう。

神は完全無欠だから、反省などすることはない、そもそも、
神にとって、成長という概念すらない。
子どもは、自分が神になることとで、親の手に負えなくなる。

こうなったとき、親が決まって言う言葉がある。
「一度地獄を見ればいい」

本当は、親が、子どもの幼児的万能感に適切に対処できなかったことが
原因で増大強化されてしまったのだ。
だから、メカニズムを知ることが最重要なことなのに、
その点がなおざりにされ、
子どもへの憎しみだけ激しく燃え上がる。
なぜなら、親にも万能感があるからだ。
親の思うとおりに生きない子どもは地獄に落としてやると考える。
子どもは、とめどなく地獄に飲み込まれていく。
子どもに対する、親の怒り、憎悪はますます大きくなっていく。
親と子の万能感の激突が起こる。

親は自分の万能感を深く自覚しなくてはならない。
そこに解決の糸口がある。
先生に対する神格化は、実は、自分を神と考える思考を、
先生に投影しているに過ぎないことが分かる。
先生が神だと考え、間違えることを許せない生徒は、
自分自身の中にある万能感に気づく必要がある。
この自覚がないと、とめどない他責の罠にとらえられてしまう。
幼児的万能感、子どもの頃に自分の中につくられた、
信念を一生持ち続けることになるのを覚悟しなくてはならない。

絶対合格！

再生時間は５分半です。ぜひ聴いてみて下さい。

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現在週２回の配信を、今週より 毎週金曜日午後３時配信 とさせていただきます。
真の教育を目指して、さらに濃く、深い内容をお届け致します。
どうぞよろしくお願い申し上げます。

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